Matematiğin Gelişimi

Batı Hıristiyan dünyasında matematik çalışmaları ancak Gerbert d’Aurillac (960-1003) [Silvester II adiyle papa olmuştur] zamanında başlayabildi. Fakat Gerbert’in ve çömezlerinin eserleri, ancak matematik bilgisinin hangi seviyede kaldığı hakkında bizi aydınlatmaları bakımından önemlidir. Bu çalışmaların aritmetikle ilgili bölümü (bütün maksat çörküler üstünde yapılan işlemleri doğrudan doğruya yazılı rakamlarla yapmaktı), Gerbert’in İspanyol Araplarından öğrendiği Arap matematiğinin etkisini taşır.

Bu çalışmaların geometriyle ilgili bölümü ise, seviye bakımından, Eukleides’in Elemanlar’ından çok uzaktır. Geometrik özellikler hâlâ birbirinden ayrı, aralarında bir mantık bağı bulunmayan ve deneylemeyle doğrulanan gerçeklerdir. Demek ki geometriyi tümdengelimli bir sistem olarak gören yunan geometrisinin ana fikri henüz ortaya çıkarılmış ve değerlendirilmiş değildir.

Arap bilimlerinin, özellikle de Arap matematiğinin Batı’ya sızması ve bunun üzerine de Batı’da yunan kültürüne karşı büyük bir ilginin uyanması arasındaki çelişmeyi veya tutarsızlığı nasıl açıklayabiliriz? Buna ille de bir izah bulmak gerekirse, pek tabiidir ki ticaret ilişkileri, Roma ile Bizans, Haçlı seferleriyle Latin imparatoru arasındaki bağıntılar, İstanbul’un Türkler tarafından fethi üzerine değerli malları ile elyazmalarını yanlarına alan yüksek görevlilerin Batı’ya sığınması, Magrıplıların boşalttıkları bölgelerde kalan Yahudi bilginlerin etkisi v.b. ileri sürülebilir. Fakat olayı gereğince anlayabilmek için bu dış şartlar da yeterli değildir.

Eninde sonunda birtakım kişisel teşebbüsleri hesaba katmak zorundayız. Buna örnek olarak Pisa’lı Leonardo’nun bilgisini artırmak için Akdeniz’i dolaşmasını gösterebiliriz. Liber abbaci (1202) ve Practica Geometriae (Pratik Geometri) [1220] gibi kitapları, bilgisi ve ele aldığı konulara ne kadar hâkim olduğunun delilidir.

Guillaume de Moerbeke’in Arkhimedes’in eserini Latinceye çevirmesi de bu döneme rastlar (1269). Arap biliminin iyice zihinlere yerleşmesi ve yayılması (bunda yüksek ruhban sınıfının büyük payı olmuştur) yüzyıllar boyunca sürdü. Yeni yeni kurulmaya başlayan cebir ve analiz alanlarında da kavramların ve işaretlemelerin kesin bir şekle varması da çok uzun zaman aldı ve birçok bocalamaya yol açtı.

Meselâ, Paris okulunun ortaya attığı birçok yeni görüş (özellikle sonsuz ile ilgili olanlar), önceleri herhangi bir kullanım alanı bulunamadan kaldı ve ancak çok daha sonraları verimli bir şekilde değerlendirildi. Luca Pacioli’nin, gerçekten “yayıcı” diyebileceğimiz ve bir yüzyıl sonraki büyük cebircilerin başucu kitabı haline gelen eseri ancak 1494’te basılabildi (Venedik).

Çoğu Bologna okulundan olan Scipione dal Ferro, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Çardano, Ludovico Ferrari ve Raffaele Bombelli gibi İtalyan cebircileri ile matematik bilimi gerçekten yepyeni bir gelişme düzeyine girdi. Kavramlarda açıklık, işlemlere hâkimiyet gibi konularda öyle bir olgunluk derecesine varılmıştı ki bir cebirsel denklemin çözümü meselesi artık olanca genelliğiyle ortaya konabilirdi.

Şimdi, herkesin de bildiği gibi, tam bir şekilde ortaya konulabilen büyük bir problem, o problemi çözmek, aydınlatmak ve doğurabileceği sonuçları çıkarmak için gerekli yolların bulunmasına elverişli ipuçlarını da bize verebilir. Sözünü ettiğimiz cebirciler üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri başarıyla çözdüler; bu denklemlerin katsayılarından hareket ederek köklerini belirlemek için bildiğimiz aritmetik işlemlerin yanı sıra sadece kök almaya dayanan formüllere başvurdular. Bu başarı ortaya yeni yeni meseleler çıkardı, bunlardan ikisi, araştırmalarda büyük bir gelişme sağlamaları bakımından burada anılmaya değer:

1. beşinci dereceden denklem (ve onunla beraber daha yüksek dereceden denklemler) aynı yollardan çözülebilir mi?

2. Cartan’ın formülündeki indirgenemez şıkka (üçüncü dereceden denklemler için) göre kullanmak zorunda olduğumuz negatif sayıların (sanal nicelikler) kare köklerine nasıl yer verebiliriz?

Bu iki soru matematik araştırmalarının günümüze kadar gelişmesi, yayılması ve dallanması hakkında bilgi veren iki örnektir. Bu sorulardan ilki daha sonraları hemen hemen bütün büyük cebirci ve analizciyi, özellikle de Euler (1707-1783) ve Lagrange’ı (1736-1813) uğraştırdı. Yeni yeni birçok buluşa yol açmakla beraber bütün çözüm denemeleri başarısızlıkla sonuçlandı; nihayet Abel (1802-1829), beşinci dereceden denklemi köklerle çözmenin imkânsızlığını ispat etti.

Galois’nın teorisiyle aydınlanan ve kapsamı genişleyen bu sonuç bir cebirsel sayılar teorisine yol açtı. İkinci soru ise, ister istemez sanal sayıların (veya karmaşık sayılar) cebirde, sonra da analizde yer almasını gerektirdi. Temel cebir teoreminin (“n. dereceden bir cebir denkleminin kesinlikle n kökü vardır”) geçerliliğini sağlayabilecek tek unsur bu kapsam genişlemesidir. Bu teorem ilk olarak Gauss tarafından, ifade edilmemekle beraber ispatlandı.

O sıralarda henüz ortaya çıkmayan ve muazzam bir şekilde gelişeceği tahmin edilemeyen analiz, gerçek sayılar sistemine karmaşık sayıları katmanın büyük bir önem taşıdığını gösterdi. İtalyan cebircilerinin gösterdiği yolda en büyük başarıya ulaşanlar Viete (1540-1603), Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) gibi Fransız matematikçileri oldu. Günümüze kadar gelen ve bugün de hâlâ kullandığımız cebir, son gelişmeler hesaba katılmazsa onların eseridir.

Descartes ve Fermat çok basit bir fikirden, koordinatlar sisteminden hareket ettiler. Bu fikir cebire, sonsuz ufuklar açtı. Bu görüş çerçevesinde, analitik geometriye dönüşen geometri, cebirin basit bir uygulama alanı oluyordu.

Aksiyomlardan hareket edilerek yapılan kesin tümdengelim yerini hesaba bıraktı. Bu sayede, kısa bir süre sonra aralarına analizin de katılacağı matematik disiplinleri bir çeşit birliğe kavuşuyordu. Bu durumda, basit koordinatlar fikrinin “yeni matematik” (analize özgü fikirleri hesaba katmadan ve özellikle cebir ve geometri ile ilgili alanlarda) hangi sınırlara kadar geliştirebileceğini kestirmek mümkündü.

Düzlem analitik geometriden uzay analitik geometriye geçiş Parent (1666-1713) sayesinde oldu. Bu genelleştirme, ister istemez n boyutlu bir uzay fikrini doğuracak, aynı zamanda da böyle bir uzayda bir geometri kurmanın yollarını gösterecekti. Bunun başarılmasında, hayli geç olmasına rağmen, Schlafli’nin (1814-1895) eserine borçluyuz. n boyutlu bu uzaylar, kendiliklerinden, daha sonraki matematik araştırmalarında büyük faydası görülen birer araç oldu.

Bir düzlemde f, x ve y’li n. dereceden bir çokterimliyi gösterdiği halde, f(x,y)=0 biçiminde bir denklem n. basamaktan bir eğriyi gösterir. Bundan da anlaşılacağı üzere, cebir kendi düzenini geometriye aktarmış durumdadır. Birinci basamaktan eğriler birer doğru, ikinci basamaktan olanlar birer konidir v.b. Meselâ koniler konusunda cebir, meseleyi kendi açısından inceleyecek ve kendi usulüne göre elips, parabol ve hiperboller arasında birtakım ayırmalar yapacaktır.

Bu arada, sınıflandırmalarda her zaman görülen yozlaştırma tehlikesini de bu arada belirtmek yerinde olur. Bu araştırma ilkesi herhangi bir basamak çeşidine teşmil edilirse, cebirsel geometrinin de çerçevesi çizilmiş olur. Fakat bu çerçevenin belirtilmesi demek, aynı zamanda bu çerçevenin koordinatlar fikrinin genelleştirilmesiyle genişlemesi demektir.

Düzlem geometride, bir noktanın koordinatıyla birlikte bir doğrunun koordinatları da tespit edilebilir; uzay geometride de bir doğru ile bir düzlemin koordinatlarını tespit etmek mümkündür v.b. Böylece de geometri, yeni geometrik varlıklar ve yeni ilkelerle zenginleşmeye doğru gider.

Meselâ uzayda değişken bir doğrunun koordinatları arasındaki n. dereceden bir denklem, n. dereceden bir doğrular karmaşasını belirler. Ve bir noktanın koordinatları arasındaki herhangi bir denklemden bir düzlemin koordinatlarıyla meydana getirilmiş özdeş bir denkleme geçme imkânı, “ikilik” diye adlandırdığımız ilkeyi doğrular. Demek ki sadece cebirsel geometri sayesinde matematik araştırmaya açılan alan kendiliğinden sınırsız bir alandır.

Koordinatların değişmesi üzerinde de biraz açıklamada bulunalım. Bir koniğin, meselâ bir elips olması koordinatların seçimine bağlı değildir. Başka bir deyimle, bu oluşum bu seçime göre değişmez bir olaydır ve cebirsel bir eşdeğerinin bulunması pek tabiidir. Oysa bir karşılaştırma sisteminin değişmesi koordinatlarda yapılan bir ornatmayla açıklanır. Böylece de hem ornatmalar teorisi, hem de değişmezler teorisine yol açılmış olur.

Fazla ayrıntılara girmeden, homogen veya izdüşümsel koordinatların katılmasıyla, cebirsel geometri çerçevesinde izdüşümsel bir geometrinin doğduğunu (bu izdüşümsel geometrinin konusu izdüşümsel bir dönüşüm veya kısaca bir izdüşümdür) ve Cayley’in (1821-1855), matematik metotları açısından beklenmedik bir öneme kavuşacak olan izdüşümsel bir ölçübilim kurduğunu söylemekle yetinelim.

Cebirin kendisi de geometriyle bağlantısından yararlanacak mıydı? Cebir kendi fonksiyonuyla gelişecek ve yönünü bulacak; kendi rolünün gereklerine uygun bir seviyede kalmanın yollarını arayacak; denklem sistemleri (lineer denklem sistemleri meselâ), formlar ve ornatmalar cebiri, vektör ve tansör cebiri v.b. olacak; değişmez, determinant, matris, tansör v.b. gibi yeni kavramlarla zenginleşecek ve bildiğimiz bugünkü soyut biçimine kavuşmadan önce kapsamına yeni yeni işlemler alacak; yeni algoritmalar icat edecek; vektör hesabı, tansör hesabı, matris hesabı v.b. gibi aşamalardan geçecekti.

Yukarıda ana çizgilerini belirttiğimiz gelişmede kimlerin rol oynadıklarını pek tabiidir ki burada saymamıza imkân yok. Cebirin akıl almaz gelişmesi düşünülünce, cebir faaliyeti ile matematik faaliyetin aynı şey olduklarını ileri sürmek ilk akla gelen şeylerden biridir. Analiz meselesini önce tarih açısından, sonra da gelişmesi bakımından ele alınca bu iddiaların ne kadar dayanaksız olduğu kendiliğinden ortaya çıkar.